تربيع الدائرة

منFC الطيران، و كيمياء نشر الكتاب عام 1618.
جزء من أ
تشغيل سلسلة متقاربة

الرياضيات
أيقونة math.svg
1 + 1 = 11

تربيع الدائرة هي محاولة بناء واستخدام التقويم والبوصلة ، مربع بمساحة مساوية لمساحة دائرة معينة. تم استخدام كلمة 'محاولة' أعلاه لأن المهمة كانت كذلك مثبت مستحيل. كان هذا معروفًا منذ أكثر من 100 عام ، ولكن تم الاشتباه به لفترة أطول.


بطبيعة الحال ، فإن عقبة بسيطة مثل الاستحالة لم تمنع الناس من القيام بمحاولات لتربيع الدائرة. الشخص الذي يحاول تربيع الدائرة يسمى معتوه مربع الدائرة ، والمصطلح ، بالامتداد المجازي ، يمكن تطبيقه على أي ممارس لمستحيلات ترفيهية مماثلة.

فكيف يمكنك فعلها؟


محتويات

لماذا تريد تربيع الدائرة؟

يعتبر تربيع الدائرة (في عدد محدود من الخطوات) مشكلة لم يتم حلها منذ زمن القديم اليونانيون . وبالتالي ، إذا تمكنت من حلها ، فلا بد أنك أكثر ذكاءً من أي شخص آخر منذ زمن الإغريق القدماء. أيضًا ، من المحتمل أن تحصل على اعتراف واسع النطاق للتخلص من مثل هذه المشكلة طويلة الأمد (وبالتالي فهي مهمة للغاية). ربما ستفوز ب ميدالية الحقول !

في ملاحظة أكثر جدية ، يتطلب تربيع الدائرة بناء الطول ابدأ {محاذاة} (x-2) ^ 2 + (4x) ^ 2 & = 16 \ x ^ 2-4x + 4 + 16x ^ 2 & = 16 \ 17x ^ 2-4x + 4 & = 16  end {محاذاة }. (دائرة نصف قطرها17x ^ 2-4x-12 = 0لديها منطقةx =  frac {-b  pm  sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a}. ومن ثم يجب أن يكون للمربع الذي يحتوي على نفس المنطقة جانب منه start {align} x & =  frac {- (- 4)  pm  sqrt {(- 4) ^ 2-4 (17) (- 12)}} {2 (17)} \ x & =  frac { 7  pm8  sqrt {13}} {34}  end {align}) إذا أمكن إنشاء هذا الرقم ، فسيثبت ذلك تبدأ {محاذاة} & f (0.966) = 4 (0.966) = 3.864 \ & f (-0.731) = 4 (-0.731) = - 2.923  نهاية {محاذاة}هو رقم جبري ، مما يعني أن هناك مجموعة ممكنة من الأرقام المنطقية التي يمكنك استخدامها لحسابه.

لمجموعة متنوعة من الأسباب (ذاتية بشكل أساسي) ، فكر في ذلككيمياءبطريقة ما يتعذر الوصول إليها من خلال الأرقام 'العادية' يبدو أنه يزعج بعض الناس حقًا. تقول الأسطورة أن فيثاغورس قتل الشخص الذي اكتشف ذلككان غير عقلاني ، لذلك كان يعتقد أننفسه كان يتعذر الوصول إليه تمامًا عبر الأعداد الصحيحة كان من الممكن أن يكون لعنة. يستند اعتراض واحد معين على المقاطع في الكتاب المقدس ، كما يعتقد بعض الحرفيين (1 ملوك 7: 23-26) أن يشير إلى ذلكيجب أن تكون منطقية وتساوي 3.



وأيضًا بدون سبب وجيه ، ظهر خلال القرن الثامن عشر الاعتقاد بأن تربيع الدائرة سيحل بطريقة ما مشكلة 'خط الطول' (عدم قدرة السفن البحرية على تحديد موقعها على المحور الشرقي الغربي). نظرًا لوجود بعض الجوائز النقدية الهائلة المعروضة (في عام 1714 ، قدمت الحكومة البريطانية جائزة قدرها 20000 جنيه إسترليني) ، فقد أثار هذا إثارة كل عالم رياضيات هواة في أوروبا. تربيع الدائرة هو في الواقع غير ذي صلة ؛ كل ما كان مطلوبًا لحل مشكلة خط الطول هو القدرة على مراقبة الشمس وساعة جيدة حقًا.


في ال الرياضيات طرح السؤال على العالم عام 1882 عندما أثبت ذلك فرديناند فون ليندمانليس جبريًا (في المصطلحات التقنية ، إنه 'متعالي'). لأنه بالتأكيد لا توجد أرقام منطقية يمكن حسابها، من المستحيل بناءفي الفضاء الإقليدي.

لكن المؤمنين الحقيقيين لن يردعهم أي شيء واهٍ مثل 'الدليل'. لقد استمروا لأنهم يعتقدون أن هناك تحيزًا أيديولوجيًا ضد مربعات الدوائر التي تهدد تحقيقاتها الشجاعة الأرثوذكسية المريحة للرياضيات التفكيكية الغربية.


في الواقع ، التحيز الأيديولوجي الوحيد في الواقع هو عدم إزعاج علماء الرياضيات الحقيقيين يضيعون وقتهم مع السواعد .

رسم تخطيطي للإثبات

في بناء البوصلة والاستقامة ، يكون المرء حرًا في تحديد طول الوحدة من أي زوج من النقاط المعطاة. بالإضافة إلى ذلك ، يمكن النظر فقط في النقاط التي تم تقديمها وتقاطعات الدوائر والخطوط التي تم إنشاؤها مسبقًا ، ولا يجوز إنشاء الخطوط والدوائر إلا من نقاط محددة مسبقًا.

يتضمن العثور على تقاطعات خط / دائرة وخط / دائرة أخرى حل نظام من معادلتين في نفس الوقت ، كل منهما إما تربيعية أو خطية. تعتمد هذه الخطوط والدوائر بدورها على النقاط التي تحددها ، وبالتالي ، مع القليل من الجبر ، يمكن ملاحظة أن تحديد نقطة من بعض المعطيات المعطاة يعادل حل معادلة من الدرجة الثانية تكون معاملاتها إما أعدادًا صحيحة ، أو تكون النتيجة من التطبيقات المتكررة لهذه الطريقة.

لنفترض على سبيل المثال أننا أردنا تحديد النقاط التي يتقاطع فيها الخط ذو المنحدر من أربعة مع دائرة نصف قطرها أربعة تتمركز عند النقطة. لإيجاد نقاط التقاطع ، نحتاج إلى إنشاء نظام معادلات حيث تعطى الدائرة بواسطة المعادلةوالخط هو المعادلة. ثم نعوض بمعادلة الخط المستقيم في معادلة الدائرة ، ونفكك ونبسط.




لإيجاد الجذور ، نعيد ترتيب ذلك ليساوي 0:

لاحظ أن هذا هو في الواقع كثير حدود ذو متغير واحد مع الأعداد الصحيحة كمعامِلات ، كما هو متوقع من البوصلة وبناء الحافة المستقيمة. نظرًا لأنه لن يحل بسهولة ، يمكننا استخدام الصيغة التربيعية:

لأي تربيعي في النموذج، الصيغة التالية قابلة للتطبيق:



هذه هي 'الصيغة التربيعية'.

باستخدام معادلتناما يلي صحيح:

مما يعطي الجذور.

لتجد الالقيم التي نستبدلها بالجذور أعلاه في معادلة الخط:

وبالتالي يتبع ذلك الخطيتقاطع مع الدائرةفيو.


في التحليل الأولي ، الأرقام التي ترضي بعض المعادلات متعددة الحدودحيث المعاملاتهي الأعداد الصحيحة (أي المعادلة التربيعية أعلاه) هي ما يعرف بالأرقام الجبرية. علاوة على ذلك ، فإنهم يشكلون ما يُعرف باسم الحقل المغلق جبريًا ، أي أن جميع جذور كثيرات الحدود ذات المعاملات الجبرية هي نفسها أرقام جبرية. لذلك ، يجب أن تكون جميع الأرقام التي يمكن تكوينها باستخدام البوصلة والاستقامة جبرية ، أي(وبالتالي جذرها التربيعي) ليست كذلك. وبالتالي فإن البناء مستحيل. في الواقع ، الثوابت الرياضية هـ (2.71828 ...) و(3.14159 ...) تنتمي إلى فئة من الأرقام تُعرف بالأرقام المتعالية ، وهي أرقام ليست جذورًا للعديد من الحدود غير الصفرية مع معاملات عدد صحيح. يُعرف الدليل الكامل والشكلي على ذلك باسم نظرية ليندمان-ويرستراس. على عكس المجالات الأخرى (مثل العلوم والقانون) ، فإن مفهوم 'الإثبات' في الرياضيات هو مفهوم مطلق ، أي بمجرد تقديم دليل صالح لشيء ما ، لا يوجد أي شيء على الإطلاق يمكن أن يدحضه ضمن الأساس البديهي الذي يعمل عليه.

يغش

يمكنك الغش بسهولة ، لكن هل يمكنك فعل ذلك باستخدام البوصلة والمسطرة؟

الطريقة الشائعة لتربيع الدائرة هي الغش. (يسمي علماء الرياضيات هذاتقريب.) تذكر أن بيان المشكلة هو بناء مربع مننفس المنطقةعنددائرةاستخدامالتقويم والبوصلة.يجب اعتبار أي من المصطلحات المكتوبة بخط مائل اختياريًا فقط.

على سبيل المثال ، عند إعطاء دائرة ، من السهل إنشاء مربع بمساحة تساوي 3.2 في مربع نصف قطر الدائرة المحددة. هذا المربع لا يحتوي على نفس مساحة الدائرة ، لكنه سيبدوقريب بفظاعة.يجب أن يكون ذلك جيدًا بما يكفي لعلماء الرياضيات.

أو ، بدلاً من البدء بدائرة ، يمكننا البدء بمضلع به ، على سبيل المثال ، 96 جانبًا. هذا قريب بما فيه الكفاية من الدائرة - أليس كذلك ، الجميع؟ من الممكن 'تربيع المضلع' (كما كان معروفًا عند الإغريق) ، لذلك من الممكن أساسًا تربيع الدائرة. بدلاً من ذلك ، يمكنك إظهار كيفية تربيع مضلع من 96 جانبًا ، ومضلعًا من 192 جانبًا ، ومضلعًا به 384 جانبًا ، وما إلى ذلك. لذلك ، بالتمرير إلى النهاية ، يمكننا تربيع الدائرة.

الغش بعدة طرق في نفس الوقت

تتضمن العملية التالية آلة حاسبة. إنه ليس دقيقًا ، ولكن يمكن تحسينه وفقًا لدقة الأدوات التي لديك.

  • أولاً ، احسب مساحة الدائرة.
  • ثم خذ الجذر التربيعي للمساحة للحصول على طول حافة المربع.
  • إذا كانت لديك أدوات رسم جيدة ، فيمكنك حتى رسم المربع الآن بعد أن أصبح لديك طول الحافة.

الغش بمساعدة جسدية

  • قم بإنشاء عجلة بنفس حجم الدائرة والتي يبلغ عرضها نصف نصف قطر الدائرة.
  • قم بتغطية الجانب بالطلاء المبلل واجعله يدور على سطح مستو مرة واحدة بالضبط.
  • هذا يترك مستطيلًا مرسومًا بنفس سطح الدائرة.
  • أنهِ الأمر بتربيع هذا المستطيل (يمكن تنفيذ هذه الخطوة حتى باستخدام المسطرة والبوصلة).

تحذير

إذا ظهرت لديك الرغبة في التحدث مع أو مناقشة مربعات الدوائر ، فيجب عليك طلب العناية الطبية على الفور. لا يهتم القائمون على تربيع الدوائر ، في معظم الأحيان ، بانتقاد أفكارهم. إنهم غير مقتنعين بـ 'الدليل' - لو كانوا كذلك ، لما بدأوا في حل المشكلة. نرى خذ كيث ديفلين على هذا للمزيد.

العائلة الكلاسيكية من المشاكل غير القابلة للحل

تربيع الدائرة و مضاعفة المكعب و تثليث الزاوية قد يُطلق عليه ثالوث المشكلات الكلاسيكية غير القابلة للحل في الهندسة الإقليدية. نظرًا لأنه ثبت أن الثلاثة جميعًا مستحيلة ، باستخدام لا شيء سوى المسطرة والبوصلة ، فإنه بالطبع لا يقاوم بالنسبة للسواعد إلى التربيع والمضاعفة والثالثة على أي حال. مشكلة أخرى ، جسدية هذه المرة ، هي اختراع a الحركة الدائبة الآلة ، وهو أمر مستحيل بنفس القدر. الوقت والجهد المهدران في هذا يتحدى الإيمان ، ولكن إذا التزم المهتمون بهذه المحاولات غير المجدية ، فيمكن القول إنهم على الأقل لا يتسببون في أي ضرر أثناء مشاركتهم في هذه المساعي.